Question

已知偶函數(shù)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對(duì)x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），若當(dāng)x∈（-3，-2）時(shí)，f（x）=5x，則f（201.5）=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)恒等式和偶函數(shù)的定義令x=-3代入求出f（3）=0，從而求出函數(shù)的周期是6，再利用賦值法進(jìn)行轉(zhuǎn)化

解答： 解：由題意知，f（x+6）=f（x）+f（3）并且函數(shù)是偶函數(shù)，
令x=-3代入上式得：f（-3+6）=f（-3）+f（3）=2f（3），
∴f（3）=0
∴f（x+6）=f（x），
∴函數(shù) f（x）的周期是6．
∴f（201.5）=f（34×6-2.5）=f（-2.5）=5×（-2.5）=-12.5，
故答案為：-12.5

點(diǎn)評(píng)：本題是一道抽象函數(shù)問題，題目的設(shè)計(jì)“小而巧”，解題的關(guān)鍵是巧妙的賦值，利用其奇偶性和所給的關(guān)系式得到函數(shù)的周期性，再利用周期性求函數(shù)值．