Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，Sn=$\frac{n+2}{3}{a}_{n}$（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足${b_n}={（{-1}）^n}•\frac{2n+1}{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與“累乘求積”方法即可得出；
（2）對(duì)n分類討論，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）由題意得當(dāng)n≥2時(shí)，${S_{n-1}}=\frac{n+1}{3}{a_{n-1}}$，
∴${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{n+2}{3}{a_n}-\frac{n+1}{3}{a_{n-1}}$，
即${a_n}=\frac{n+1}{n-1}{a_{n-1}}$，
∴${a_2}=3{a_1}，{a_4}=\frac{4}{2}{a_3}，…{a_n}=\frac{n+1}{n-1}{a_{n-1}}$，
以上各式相乘得${a_n}=\frac{{n（{n+1}）}}{2}{a_1}=n（{n+1}）$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2也適合上式，
∴${a_n}=n（{n+1}）（{n∈{N^*}}）$．
（2）${b_n}={（{-1}）^n}•\frac{2n+1}{a_n}$=${（{-1}）^n}•\frac{{（{n+1}）+n}}{n（n+1）}={（{-1}）^n}（{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}}）$，
∴當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，${T_n}=-（{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}）-（{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}）…+（{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}}）=\frac{1}{n+1}-1=-\frac{n}{n+1}$
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，
T_n=-$（1+\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$-$（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$+…-$（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$=-$\frac{1}{n+1}$-1=-$\frac{n+2}{n+1}$．
故T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{n}{n+1}，n為偶數(shù)}\\{-\frac{n+2}{n+1}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系與“累乘求積”方法、分類討論方法、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．