Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x∈（0，+∞）時，f（x）＞0且2f（x）+xf′（x）＞0，有下列命題：
①f（x）在R上是增函數(shù)；           
②當x₁＞x₂時，x₁²f（x₁）＞x₂²f（x₂）
③當x₁＞x₂＞0時，

x12

f(x2)

＞

x22

f(x1)

④當x₁+x₂＞0時，x₁²f（x₁）+x₂²f（x₂）＞0
⑤當x₁＞x₂時，x₁²f（x₂）＞x₂²f（x₁）
則其中正確的命題是

 

（寫出你認為正確的所有命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：

分析：利用函數(shù)的性質(zhì)和構建函數(shù)來求解．

解答： 解：通過審題，特別是所要判斷的項，我們可以得出
     當x∈（0，+∞），2f（x）+xf′（x）＞0
     等價于：2xf（x）+x²f′（x）＞0
    即可以看成是R（x）=x²f（x）的導函數(shù)
∴R（x）與f（x）一樣，也為奇函數(shù)，且在x∈（0，+∞）時，R（x）為單調(diào)遞增函數(shù)
通過奇函數(shù)的性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)R（x）在R上都為單調(diào)增函數(shù)
①通過分析，無法判定f（x）是增函數(shù)還是減函數(shù)
②根據(jù)前面的分析，我們可以通過增函數(shù)的性質(zhì)判定②是正確的
③∵x₁和x₂都是大于0
∴f（x₁）和f（x₂）也都大于0
∴可以化簡成x₁²f（x₁）＞x₂²f（x₂），明顯成立
④x₁+x₂＞0等價于x₁＞-x₂
∴x₁²f（x₁）＞（-x₂）²f（-x₂）=-x₂²f（x₂）
∴x₁²f（x₁）+x₂²f（x₂）＞0
⑤通過分析，無法判定等式一定成立

點評：涉及到多個函數(shù)，我們一般可以通過構造一個函數(shù)來進行簡化分析．對于無法判定的選項，只要找出一個反例就行．靈活運用奇偶函數(shù)的性質(zhì)．