Question

給出下列命題：
①函數(shù)y=cos（

2

3

x+

π

2

）是奇函數(shù)；
②若sinθ+cosθ=

7

13

，θ∈（0，π），則tanθ=-

12

5

；
③若α，β是第一象限角且α＜β，則tanα＜tanβ；
④x=

π

8

是函數(shù)y=sin（2x+

5π

4

）的一條對(duì)稱(chēng)軸；
⑤函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

12

，0）成中心對(duì)稱(chēng)．
其中正確命題的序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：閱讀型,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由誘導(dǎo)公式和正弦、余弦函數(shù)的奇偶性，即可判斷①；運(yùn)用同角三角函數(shù)的關(guān)系式，注意角的范圍，分別求出sinθ，cosθ，從而得到tanθ，即可判斷②；舉反例，α=

π

3

，β=

7π

3

，求出正切值，即可判斷③；
令對(duì)稱(chēng)軸方程為2x+

5π

4

=kπ+

π

2

，求出x，令x=

π

8

，求出k，即可判斷④；求出對(duì)稱(chēng)中心，求出k，注意為整數(shù)，即可判斷⑤．

解答： 解：①函數(shù)y=cos（

2

3

x+

π

2

）=-sin

2x

3

是奇函數(shù)，故①正確；
②若sinθ+cosθ=

7

13

，θ∈（0，π），則兩邊平方得，2sinθcosθ=-

120

169

＜0，
則sinθ＞0，cosθ＜0，sinθ-cosθ＞0，且sinθ-cosθ=

17

13

，則sinθ=

12

13

，cosθ=-

5

13

，
tanθ=-

12

5

，故②正確；
③若α，β是第一象限角且α＜β，比如α=

π

3

，β=

7π

3

則tanα=tanβ=

3

，故③錯(cuò)；
④函數(shù)y=sin（2x+

5π

4

）的對(duì)稱(chēng)軸方程為2x+

5π

4

=kπ+

π

2

，x=

kπ

2

-

3π

8

，k∈Z，
k=1時(shí)，x=

π

8

，故④正確；
⑤函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（

kπ

2

-

π

6

，0），
k∈Z，

kπ

2

-

π

6

=

π

12

，k=

1

2

∉Z，故⑤錯(cuò)．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查同角三角函數(shù)的關(guān)系式和誘導(dǎo)公式、正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．