Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，AC，BD相交于點O，PD=

2

AB，點E在棱PB上．
（1）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（2）當(dāng)E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成角的大小；
（3）當(dāng)PO⊥AE時，求

PE

EB

的值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，推導(dǎo)出AC⊥平面PBD，由此能證明平面AEC⊥平面PDB．
（2）由AC⊥平面PBD，推導(dǎo)出∠AEO即為AE與平面PDB所成的角，且∠AOE為直角，由此能求出AE與平面PDB所成的角的大�。�
（3）由AC⊥平面PBD，推導(dǎo)出AC⊥PO，當(dāng)PO⊥AE時，PO⊥OE，由此利用已知條件能求出

PE

EB

的值．

解答： 解：（1）∵ABCD為正方形，AC⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD┅（2分）
而BD與PD是平面PBD內(nèi)兩相交直線，
∴AC⊥平面PBD┅（3分）
而AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB┅（5分）
（2）∵AC⊥平面PBD，
∴AE在平面PDB內(nèi)的射影為OE，
∴∠AEO即為AE與平面PDB所成的角，且∠AOE為直角┅（7分）
令A(yù)B=1，則PD=

2

，
∵E為PB的中點，∴OE=

1

2

PD=

2

2

，OA=

2

2

，
∴△AOE為等腰直角三角形，┅（9分）
∴∠AEO=

π

4

，即AE與平面PDB所成的角為

π

4

┅（10分）
（3）∵AC⊥平面PBD，PO?平面PBD，
∴AC⊥PO，
當(dāng)PO⊥AE時，PO⊥平面AEC，∴PO⊥OE┅（12分）
在△PDB中，tan∠OPD=

OD

PD

=

1

2

∴tan∠OPE=tan(

π

4

-∠OPD)=

1

3

∴cos∠OPE=

3 10

10

，
而cos∠OPE=

OP

PE

=

3 10

10

，OP=

PD2+OD2

=

10

2

，
∴PE=

5

3

，BE=

1

3

，┅（14分）
∴

PE

EB

=5┅（15分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法，考查結(jié)線段比值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．