Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}的通項公式為bn=

1

n

，求數(shù)列{

an

bn

}的前項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1的關(guān)系即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求出數(shù)列{

an

bn

}的通項公式，然后利用錯位相減法即可求出數(shù)列{

an

bn

}的前項和T_n．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-1．
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
即a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是公比q=2的等比數(shù)列，
∴an=2n-1；
（2）∵an=2n-1，bn=

1

n

，
∴

an

bn

=n?2n-1，
∴Tn=1?20+2?2+3?22+???+n?2n-1   ①
2Tn=1?2+2?22+???+(n-1)?2n-1+n?2n  ②，
兩式相減得：
-Tn=1+2+22+???+2n-1-n?2n=

1?(1-2n)

1-2

-n?2n=-（n-1）?2ⁿ-1．
故：Tn=(n-1)•2n+1．

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的計算，以及利用錯位相減法進行求和的內(nèi)容，考查學(xué)生的計算能力．