Question

對于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“*”：a*b=

a2-ab，a＞b b2-ab，a≤b

．設(shè)函數(shù)f（x）=（2x-1）*（x-1），且f（x）的圖象與函數(shù)y=2x+m（m∈R）恰有三個交點(diǎn)，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知a*b=

a2-ab，a＞b b2-ab，a≤b

．設(shè)函數(shù)f（x）=（2x-1）*（x-1），正確得出函數(shù)F（x）=f（x）-2x-m解析式畫出圖象，數(shù)形結(jié)合可求出m的取值范圍．

解答： 解：∵a*b=

a2-ab，a＞b b2-ab，a≤b

．
由f（x）=（2x-1）*（x-1）=

2x2-x，x＞0 -x2+x，x≤0

，
令函數(shù)F（x）=f（x）-2x=

2x2-3x，x＞0 -x2-x，x≤0

，
其圖象如下圖所示：

若f（x）的圖象與函數(shù)y=2x+m（m∈R）恰有三個交點(diǎn)，
則函數(shù)F（x）的圖象與直線y=m恰有三個交點(diǎn)，
由圖可得：m∈(-

9

8

，

1

4

)，
故m的取值范圍是(-

9

8

，

1

4

)．
故答案為：(-

9

8

，

1

4

)

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，其中根據(jù)已知求出函數(shù)的解析式，是解答的關(guān)鍵．