Question

已知A是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的一個(gè)動點(diǎn)，弦AB．AC所在的直線分別過焦點(diǎn)F₁、F₂，且當(dāng)AB⊥AC時(shí)，恰好有|

AF1

|=2|

AF2

|或2|

AF1

|=|

AF2

|．
（1）求雙曲線C的離心率
（2）設(shè)

AF1

=λ1

F1B

，

AF2

=λ2

F2C

，試判斷λ₁+λ₂是否為定值？若是，求出該定值，若不是，則求出λ₁+λ₂的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合,雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）不妨設(shè)A在雙曲線右支上，即|

AF1

|=2|

AF2

|，由AB⊥AC可得|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²結(jié)合|AF₁|-|AF₂|=2a，|F₁F₂|=2可求雙曲線C的離心率e
（2）設(shè)A（x₀，y₀）B（x₁，y₁）C（x₂，y₂）分別表示出

AF1

，

F1B

根據(jù)

AF1

=λ1

F1B

，整理x₁，y₁表達(dá)式代入雙曲線的方程中，把（x₀，y₀）代入，兩式相減可得x₀與λ₁的關(guān)系，同理可得x₀與λ₂的關(guān)系，進(jìn)進(jìn)而可求

解答： 解：（1）不妨設(shè)A在雙曲線右支上，即|

AF1

|=2|

AF2

|，
∵AB⊥AC，∴△AF₁F₂為直角三角形，AF₁，AF₂為兩直角邊，∴|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²
又|AF₁|-|AF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴

1

e

=

|AF1|-|AF2|

|F2F2|

=

|AF2|

|F1F2|

=sin∠AF₁F₂=

1

5

∴雙曲線C的離心率e=

5

（2）y由（1）可得雙曲線的方程位為：

x2

a2

-

y2

4a2

=1即4x²-y²=4a²
設(shè)A（x₀，y₀）B（x₁，y₁）C（x₂，y₂）
由

AF1

=λ1

F1B

，可得

- 5 a-x0=λ1(x1+ 5 a)    -y0=λ1y1

整理可得，

x1= - 5 a-x0 λ1 - 5 a y1= - y0 λ1

代入到雙曲線整理可得，4(

5

a+x0+

5

λ1a)2-y02=4(λ1a)2
∵4x₀²-y₀²=4a²兩式相減整理可得

5

x0=-(2λ1+3)a
同理可得，

5

x0=(2 λ2 +3)a
λ₁+λ₂=-3

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．涉及了橢圓的基本性質(zhì)和利用向量的運(yùn)算解決橢圓與直線的關(guān)系的問題，要求學(xué)生具有對知識的綜合、整合的能力．