Question

我們常用定義解決與圓錐曲線有關(guān)的問題．如“設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過左焦點(diǎn)F₁作傾斜角為θ的弦AB，設(shè)|F₁A|=r₁，|F₁B|=r₂，試證

1

r1

+

1

r2

為定值”．
證明如下：不妨設(shè)A在x軸的上方，在△ABC中，由橢圓的定義及余弦定理得，（2a-r₁）²=r₁²+4c²-4cr₁cosθ，∴r1=

b2

a-ccosθ

，
同理r2=

b2

a-ccos(π-θ)

=

b2

a+ccosθ

，于是

1

r

1+

1

r

2=

2a

b2

．請用類似的方法探索：設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過左焦點(diǎn)F₁作傾斜角為θ的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)A，左支交于點(diǎn)B，設(shè)|F₁A|=r₁，|F₁B|=r₂，是否有類似的結(jié)論成立，請寫出與定值有關(guān)的結(jié)論是

 

．．

Answer 1

考點(diǎn)：類比推理,圓錐曲線的綜合

專題：探究型

分析：由題設(shè)條件知，本題要類比橢圓得出雙曲線的結(jié)論，由橢圓的定義與雙曲線的定義，一個(gè)是到兩定點(diǎn)距離的和為定值，一個(gè)是到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差為定值，由此可得出類比的結(jié)論，再作出證明

解答： 解：由題意，根據(jù)橢圓的定義與雙曲線的定義類比得“設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過左焦點(diǎn)F₁作傾斜角為θ的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)A，左支交于點(diǎn)B，設(shè)|F₁A|=r₁，|F₁B|=r₂，試證

1

r

1-

1

r

2為定值”，證明如下：
不妨設(shè)A在x軸的上方，令在△ABC中，由雙曲線的定義及余弦定理得，（2a+r₁）²=r₁²+4c²+4cr₁cosθ，
∴r1=

b2

a+ccosθ

，
同理r2=

b2

a+ccos(π-θ)

=

b2

a+ccosθ

，
于是

1

r

1-

1

r

2=-

2a

b2

．
故答案為

1

r

1-

1

r

2=-

2a

b2

．

點(diǎn)評：本題考查以圓錐曲線為背景的類比推理，解題的關(guān)鍵是理解橢圓與雙曲線的定義，從中找出二者的對應(yīng)關(guān)系，給出類比結(jié)論，熟練掌握類比的規(guī)則，由定義得出類比結(jié)論是難點(diǎn)