【題目】設為正整數(shù),區(qū)間(其中,)同時滿足下列兩個條件:
①對任意,存在使得;
②對任意,存在,使得(其中).
(Ⅰ)判斷能否等于或;(結(jié)論不需要證明).
(Ⅱ)求的最小值;
(Ⅲ)研究是否存在最大值,若存在,求出的最大值;若不在在,說明理由.
【答案】(Ⅰ)可以等于,但不能等于;(Ⅱ);(Ⅲ)存在最大值,為.
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意可得出結(jié)論;
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)中的結(jié)論得出可以等于,可得出區(qū)間的長度為,結(jié)合①得出,再由,,,滿足條件①、②可得出的最小值;
(Ⅲ)利用反證法推導出,進而得出,由此得出,進而得出,再舉例說明成立,由此可得出正整數(shù)的最大值.
(Ⅰ)可以等于,但不能等于;
(Ⅱ)記為區(qū)間的長度,則區(qū)間的長度為,的長度為.
由①,得.
又因為,,,顯然滿足條件①,②.
所以的最小值為;
(Ⅲ)的最大值存在,且為.
解答如下:(1)首先,證明.
由②,得、、、互不相同,且對于任意,.
不妨設.
如果,那么對于條件②,當時,不存在,使得.
這與題意不符,故.
如果,那么,
這與條件②中“存在,使得(其中、、、、、、)”矛盾,故.
所以,,,,則.
故.
若存在,這與條件②中“存在,使得”矛盾,
所以.
(2)給出存在的例子 .
令,其中、、、,即、、、為等差數(shù)列,公差.
由,知,則易得,
所以、、、滿足條件①.
又公差,
所以,.(注:
為區(qū)間的中點對應的數(shù))
所以、、、滿足條件②.
綜合(1)(2)可知的最大值存在,且為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:()的離心率為,左、右焦點分別為,,過的直線與C交于M,N兩點,的周長為.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)過M作與y軸垂直的直線l,點,試問直線與直線l交點的橫坐標是否為定值?請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】微信運動,是由騰訊開發(fā)的一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號.用戶可以通過關注微信運動公眾號查看自己每天行走的步數(shù),同時也可以和其他用戶進行運動量的或點贊.微信運動公眾號為了解用戶的一些情況,在微信運動用戶中隨機抽取了100名用戶,統(tǒng)計了他們某一天的步數(shù),數(shù)據(jù)整理如下:
(萬步) | ||||||
(人) | 5 | 20 | 50 | 15 | 5 | 5 |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),在如圖所示的坐標平面中作出其頻率分布直方圖,并在縱軸上標明各小長方形的高;
(2)若視頻率分布為概率分布,在微信運動用戶中隨機抽取3人,求至少2人步數(shù)多于1.2萬步的概率;
(3)若視頻率分布為概率分布,在微信運動用戶中隨機抽取2人,其中每日走路不超過0.8萬步的有人,超過1.2萬步的有人,設,求的分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校高三年級有400名學生參加某項體育測試,根據(jù)男女學生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中抽取了100名學生,記錄他們的分數(shù),將數(shù)據(jù)分成7組:,整理得到如下頻率分布直方圖:
(1)若該樣本中男生有55人,試估計該學校高三年級女生總?cè)藬?shù);
(2)若規(guī)定小于60分為“不及格”,從該學校高三年級學生中隨機抽取一人,估計該學生不及格的概率;
(3)若規(guī)定分數(shù)在為“良好”,為“優(yōu)秀”.用頻率估計概率,從該校高三年級隨機抽取三人,記該項測試分數(shù)為“良好”或“優(yōu)秀”的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某建材商場國慶期間搞促銷活動,規(guī)定:如果顧客選購物品的總金額不超過600元,則不享受任何折扣優(yōu)惠;如果顧客選購物品的總金額超過600元,則超過600元部分享受一定的折扣優(yōu)惠,折扣優(yōu)惠按下表累計計算.
某人在此商場購物獲得的折扣優(yōu)惠金額為30元,則他實際所付金額為____元.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下:
上年度出險次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保費 | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:
出險次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
頻數(shù) | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”,求P(A)的估計值;
(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”,求P(B)的估計值;
(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關的問題:將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成一個數(shù)列,則該數(shù)列各項之和為( )
A.56383B.57171C.59189D.61242
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