Question

【題目】已知函數(shù) (mR)

（1）當(dāng)時，

①求函數(shù)在x=1處的切線方程；

②求函數(shù)在上的最大，最小值．

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）①；②函數(shù)在上的最大值為，最小值為；（2）.

【解析】

（1）當(dāng)時，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

①根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=1處的切線的斜率，寫出切線的點斜式方程，最后化成一般形式即可；

②根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的極值定義求出函數(shù)的極值，再比較給定區(qū)間端點函數(shù)值進(jìn)行求解即可；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)正負(fù)性的關(guān)系，得到不等式，常變量分離，構(gòu)造新函數(shù)，判斷新函數(shù)的單調(diào)性，求出新函數(shù)的最值進(jìn)行求解即可.

（1）當(dāng)時，.

①當(dāng)x=1時，，

所以函數(shù)在x=1處的切線的斜率為，因此切線方程為：

；

②因為，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，函數(shù)有極小值，

而，

所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為；

（2），

因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以 在時恒成立，

即在時恒成立，設(shè)，，

因為當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，

因此要想在時恒成立，只需.

所以當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增時，實數(shù)的取值范圍為.