Question

已知A，B，C是橢圓W：

x2

4

+y²=1上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊行OABC是否是矩形，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)AC：y=kx+m，A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由條件OA⊥OC，得x₁x₂+y₁y₂=0，結(jié)合韋達(dá)定理，及矩形的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)AC：y=kx+m，A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），AC的中點(diǎn)M（x₀，y₀），B（x₃，y₃），
直線代入拋物線方程可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0，
x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

．（1）
由條件OA⊥OC，得x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
整理得（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
將（1）式代入得5m²=4k²+4                                   （2）
又x₀=-

4km

1+4k2

，y₀=kx₀+m=

m

1+4k2

且M同時(shí)也是OB的中點(diǎn)，∴x₃=2x₀，y₃=2y₀，
∵B在橢圓上，∴x₃²+4y₃²=4，
即x₀²+4y₀²=1，
代入整理可得4m²=4k²+1                            （3）
由（2）（3）解得m²=3，k²=

11

4

，
驗(yàn)證知△=120＞0，
∴四邊形OABC可以為矩形．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程，探討了以坐標(biāo)原點(diǎn)O為一個(gè)頂點(diǎn)，其它三個(gè)頂點(diǎn)在橢圓上的矩形問題，著重考查了矩形的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．