Question

在直角坐標(biāo)xoy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，如圖，曲線C與x軸交于O，B兩點(diǎn)，P是曲線C在x軸上方圖象上任意一點(diǎn)，連結(jié)OP并延長(zhǎng)至M，使PM=PB，當(dāng)P變化時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,軌跡方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：設(shè)出點(diǎn)M的極坐標(biāo)（ρ，θ），表示出OP、PB，列出的極坐標(biāo)方程，再化為普通方程，求出點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度即可．

解答： 解：設(shè)M（ρ，θ），θ∈（0，

π

2

），則OP=2cosθ，PB=2sinθ；
∴ρ=OP+PM=OP+PB=2cosθ+2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ；
化為普通方程是x²+y²=2x+2y，
∴M的軌跡方程是（x-1）²+（y-1）²=2（x＞0，y＞0）；
∴點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度是l=

1

2

×2π×

2

=

2

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意，列出極坐標(biāo)方程，再化為普通方程，從而求出解答來(lái)，是基礎(chǔ)題．