Question

已知f（x）=ax²+bx+c的圖象過點(diǎn)（-1，0）是否存在常數(shù)a，b，c，使得不等式x≤f（x）≤

1+x2

2

對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，若存在，求出a，b，c；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：通過圖象過一點(diǎn)得到a、b、c一關(guān)系式，觀察發(fā)現(xiàn)1≤f（1）≤1，又可的一關(guān)系式，再將b、c都有a表示．不等式x≤f（x）≤

1+x2

2

對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立可轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元二次不等式恒成立，即可解得．

解答： 解：∵f（x）的圖象過點(diǎn)（-1，0），∴a-b+c=0①
∵x≤f（x）≤

1+x2

2

對(duì)一切x∈R均成立，
∴當(dāng)x=1時(shí)也成立，即1≤a+b+c≤1．
故有a+b+c=1．②
由①②得b=

1

2

，c=

1

2

-a．
∴f（x）=ax²+

1

2

x+

1

2

-a．
故x≤ax²+

1

2

x+

1

2

-a≤

1+x2

2

對(duì)一切x∈R成立，
也即

ax2- 1 2 x+ 1 2 -a≥0 (1-2a)x2-x+2a≥0

恒成立，
即

1 4 -4a( 1 2 -a)≤0 1-8a(1-2a)≤0 a＞0 1-2a＞0

，
解得a=

1

4

．
∴c=

1

2

-a=

1

4

．
∴常數(shù)a，b，c的值為：a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問題，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，賦值法（特殊值法）可以使問題變得比較明朗，它是解決這類問題比較常用的方法．