Question

【題目】已知函數(shù)（）.當(dāng)點在函數(shù)圖象上運動時，對應(yīng)的點在函數(shù)圖象上運動，則稱函數(shù)是函數(shù)的相關(guān)函數(shù).

（1）解關(guān)于的不等式；

（2）對任意的，的圖象總在其相關(guān)函數(shù)圖象的下方，求的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，.當(dāng)時，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解不等式.

（2）先求出，再考慮不等式對任意的恒成立后可得實數(shù)的取值范圍.

（3）當(dāng)時，，令，求出的最小值后可得的最大值.

（1）依題，則，所以

所以原不等式的解集為.

（2）由題意，所以.

所以的相關(guān)函數(shù)為.

依題意，對任意的，的圖象總在其相關(guān)函數(shù)圖象的下方，

即當(dāng)，恒成立①.

由對任意的總成立，，結(jié)合題設(shè)條件有.

在此條件下，①等價于時，恒成立，

即，即.

設(shè)，

要使時，恒成立，

只需即成立，解得，即的取值范圍是.

（3）由（2）可得當(dāng)時，在區(qū)間上，.

即，

設(shè)，則.

令，則，

所以，

因為（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），

可得，當(dāng)時等號成立，滿足，則的最大值為，

所以的最大值是.