Question

若對(duì)滿足條件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，xy-a

xy

+1≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由x＞0，y＞0，利用基本不等式可得xy=3+x+y≥3+2

xy

，化為(

xy

-3)(

xy

+1)≥0，可得

xy

≥3．可知：

xy

≥3時(shí)，xy-a

xy

+1≥0恒成立?a≤(

xy

+

1

xy

)min，

xy

≥3．令

xy

=t≥3，g（t）=t+

1

t

．再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答： 解：∵x＞0，y＞0，∴xy=3+x+y≥3+2

xy

，化為(

xy

-3)(

xy

+1)≥0，解得

xy

≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時(shí)取等號(hào)．
由

xy

≥3時(shí)，xy-a

xy

+1≥0恒成立?a≤(

xy

+

1

xy

)min，

xy

≥3．
令

xy

=t≥3，g（t）=t+

1

t

．
則g′(t)=1-

1

t2

=

(t-1)(t+1)

t2

＞0，
∴函數(shù)g（t）在[3，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（t）_min=g（3）=3+

1

3

=

10

3

．
∴a≤

10

3

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，

10

3

]．
故答案為：(-∞，

10

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．