Question

扇形AOB中心角為60°，所在圓半徑為

3

，它按如下（Ⅰ）（Ⅱ）兩種方式有內(nèi)接矩形CDEF．
（Ⅰ）矩形CDEF的頂點C、D在扇形的半徑OB上，頂點E在圓弧AB上，頂點F在半徑OA上，設(shè)∠EOB=θ；
（Ⅱ）點M是圓弧AB的中點，矩形CDEF的頂點D、E在圓弧AB上，且關(guān)于直線OM對稱，頂點C、F分別在半徑OB、OA上，設(shè)∠EOM=φ；
試研究（Ⅰ）（Ⅱ）兩種方式下矩形面積的最大值，并說明兩種方式下哪一種矩形面積最大？

Answer 1

考點：解三角形的實際應(yīng)用,扇形面積公式,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）如圖先用所給的角將矩形的面積表示出來，建立三角函數(shù)模型，再根據(jù)所建立的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值．
（Ⅱ）先用所給的角將矩形的面積表示出來，建立三角函數(shù)模型，再根據(jù)所建立的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值．然后比較面積的最大值，得到結(jié)果即可．

解答： 解：如圖，在Rt△OD中，設(shè)∠EOD=θ，則OD=

3

cosθ，ED=

3

sinθ
又CD=OD-OC=

3

cosθ-

CF

tan60°

=

3

cosθ-sinθ，
∴S_CDEF=ED•CD=

3

sinθ（

3

cosθ-sinθ）
=3sinθcosθ-

3

sin²θ
=

3

2

sin2θ-

3

2

(1-cos2θ)
=

3

sin（2θ+

π

6

）-

3

2

．
當2θ+

π

6

=

π

2

，即θ=

π

6

時，S_最大=

3

2

．
（Ⅱ）令ED與OM的交點為N，F(xiàn)C與OM的交點為P，則EN=

3

sinφ，
于是ED=2

3

sinφ，又CD=PN=ON-OP=

3

cosφ-

FP

tan30°

=

3

cos-3sinφ，
∴S_CDEF=ED•CD=2

3

sinφ（

3

cosφ-3sinφ）=3sin2φ-3

3

（1-cos2φ）=6sin（2φ+

π

3

）-3

3

．
當22φ+

π

3

=

π

2

，即φ=

π

12

時，y取得最大值為：6-3

3

．
∵

3

2

＞6-3

3

，（Ⅰ）（Ⅱ）兩種方式下矩形面積的最大值為方式（Ⅱ）．

點評：本題考查在實際問題中建立三角函數(shù)模型，求解問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形建立起三角模型，將三角模型用所學(xué)的恒等式變換公式進行化簡．