Question

閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的余弦公式，有
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ②
由①-②得 cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ
令 α+β=A，α-β=B，有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

代入③得cosA-cosB=-2sin

A+B

2

sin

A-B

2

（1）類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的正弦公式，證明：sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

（2）若在△ABC的三個內(nèi)角A，B，C，滿足在cos2A-cos2B=1-cos2C試判斷△ABC的形狀．（提示：如需要可直接利用或參閱結(jié)論）

Answer 1

考點：類比推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：（1）通過兩角和與差的正弦公式，令α+β=A，α-β=B有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

，即可證明結(jié)果．
（2）由二倍角公式可得，（sinA）²+（sinC）²=（sinB）²，由正弦定理可得，c²+a²=b²，由勾股定理的逆定理得到△ABC為直角三角形．

解答： 證明：（1）由sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ②
由①+②得 sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ③
令α+β=A，α-β=B，有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

代入③sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

（2）由二倍角公式可得，（sinA）²+（sinC）²=（sinB）²
設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c
由正弦定理可得，c²+a²=b²所以由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．

點評：本小題主要考查兩角和與差三角函數(shù)公式、二倍角公式、三角函數(shù)的恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．