Question

已知角α，β為銳角，且cos（α+β）sinβ=sinα，則tanα的最大值是

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由條件利用兩角和差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關系可得 2tanα•tan²β-tanβ+tanα=0，再根據(jù)△=1-8tan²α≥0，求得tanα的最大值．

解答： 解：角α，β為銳角，且cos（α+β）sinβ=sinα=sin[（α+β）-β]，
∴cos（α+β）sinβ=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，
化簡可得 tan（α+β）=2tanβ，即

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=2tanβ，
故有 2tanα•tan²β-tanβ+tanα=0，∴△=1-8tan²α≥0，
求得-

2

4

≤tanα≤

2

4

，α為銳角，故0＜tanα≤

2

4

，
故答案為：

2

4

．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關系，屬于基礎題．