Question

各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₂=3，a₄-2a₃=9
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=（n+1）•log₃a_n+1，數(shù)列{

1

bn

}前n項和T_n．在（1）的條件下，證明不等式T_n＜1；
（3）設(shè)各項均不為0的數(shù)列{c_n}中，所有滿足c_i•c_i+1＜0的整數(shù)i的個數(shù)稱為這個數(shù)列{c_n}的“積異號數(shù)”，在（1）的條件下，令cn=

nan-4

nan

，n∈N⁺，求數(shù)列{c_n}的“積異號數(shù)”

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的函數(shù)特性,等比數(shù)列的通項公式,數(shù)列的求和

專題：新定義,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用對數(shù)的運算法則和“裂項求和”即可；
（3）利用新定義和數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答： （1）解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由

a4-2a3=9 a2=3

得

a2(q2-2q)=9 a2=3

，
解得q=3或q=-1，
∵數(shù)列{a_n}為正項數(shù)列，∴q=3．
∴首項a1=

a2

q

=1，
∴an=3n-1．
（2）證明：由（1）得bn=(n+1)•log3an+1=(n+1)log33n=n(n+1)
∴

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1
（3）解：由（1）得an=3n-1，
∴cn=

nan-4

nan

=1-

4

n•3n-1

，
∴c1=1-

4

1

=-3，c2=1-

4

2×3

=

1

3

，
∴c₁•c₂=-1＜0，
∵cn+1-cn=1-

4

(n+1)•3n

-(1-

4

n•3n-1

)=

4(2n+3)

n(n+1)•3n

＞0
∴數(shù)列{c_n}是遞增數(shù)列；
由c2=

1

3

＞0得，當n≥2時，c_n＞0．
∴數(shù)列{c_n}的“積異號數(shù)”為1．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算法則和“裂項求和”、新定義和數(shù)列的單調(diào)性，屬于難題．