Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x-a|，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=4時，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥4對x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式

分析：對第（1）問，將a的值代入f（x）中，令|x-1|=0，|2x-4|=0，將數(shù)軸分三段討論即可得解集；
對第（2）問，根據(jù)函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x-a|的圖象特征，左邊一段遞減，右邊一段遞增，中間一段單調(diào)，且圖象連續(xù)，圖象的最低點(diǎn)必在轉(zhuǎn)折處，由此知，函數(shù)f（x）的最小值為f（1）或f（

a

2

），只需f（x）_min≥4即可．

解答： 解：（Ⅰ）a=4時，f（x）=|x-1|+|2x-4|，
令|x-1|=0，得x=1；令|2x-4|=0，得x=2．
①當(dāng)x≤1時，由f（x）=-（x-1）-（2x-4）=-3x+5≥5得x≤0，
∴x≤0．
②當(dāng)1＜x＜2時，由f（x）=（x-1）-（2x-4）=-x+3≥5，得x≤-2，
∴原不等式無實數(shù)解．
③當(dāng)x≥2時，由f（x）=（x-1）+（2x-4）=3x-5≥5，得x≥

10

3

，
∴x≥

10

3

．
綜合①、②、③知，不等式f（x）≥5的解集為{x|x≤0，或x≥

10

3

}．
（Ⅱ）x=1時，f（x）=|2-a|；x=

a

2

時，f（x）=|

a

2

-1|．作出f（x）的圖象，如右圖所示，
要使f（x）≥4對x∈R恒成立，則

|2-a|≥4 | a 2 -1|≥4

，得

a≥6，或a≤-2 a≥10，或a≤-6

得a≥10或a≤-6，故a的取值范圍是[10，+∞）∪（-∞，-6]．

點(diǎn)評：本題考查了含兩個絕對值符號的不等式的解法，及含參數(shù)的絕對值不等式恒成立問題，常規(guī)方法是利用零點(diǎn)分段法及函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了分類討論的思想，數(shù)型結(jié)合思想等．其關(guān)鍵是找到“零點(diǎn)”或圖象的“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”．