Question

3．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{a-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0，可求出a的值，
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．

解答 解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，由f（0）=0可得a=1．
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=$\frac{2}{1+{2}^{x}}$-1在R上單調(diào)遞減，
證明：設(shè)x₂＞x₁＞0，由于f（x₂）-f（x₁）=$\frac{{2}^{{x}_{2}+1}-{2}^{{x}_{1}+1}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₂＞x₁，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
∴函數(shù)f（x）（0，+∞）上單調(diào)性遞減，
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）在R上為減函數(shù)．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．