Question

已知向量

m

=（cosωx，1），

n

=（

3

，sinωx）（ω＞0），函數(shù)f（x）=

m

•

n

，且f（x）圖象上一個最高點為P（

π

12

，2），與P最近的一個最低點的坐標為（

7π

12

，-2）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)a為常數(shù)，判斷方程f（x）=a在區(qū)間[0，

π

2

]上的解的個數(shù)；
（3）在銳角△ABC中，若cos（

π

3

-B）=1，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式、兩角和的正弦公式求得函數(shù)f（x）=2sin（ωx+

π

3

），根據(jù)周期求出ω，可得
f（x）的值域．
（2）求出f（x）=2sin（2x+

π

3

）的值域，分類討論a的范圍，可得方程f（x）=a在區(qū)間[0，

π

2

]上的解的個數(shù)．
（3）由條件求得

π

6

＜A＜

π

2

，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（A）的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

m

•

n

=

3

cosωx+sinωx
=2sin（ωx+

π

3

），
再根據(jù)

T

2

=

1

2

（

7π

12

-

π

12

），∴T=π=

2π

ω

，∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）．
（2）∵f（x）=2sin（2x+

π

3

），x∈[0，

π

2

]，
∴f（x）∈[-

3

，2]，如圖所示：
故由圖象知，①當(dāng)a=2或-

3

≤a＜

3

時，
函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=a有一個交點，
方程f（x）=a 有唯一解，
②當(dāng)

3

≤a＜2時，函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=a有兩個交點，方程f（x）=a 有兩解；
當(dāng)a＞2 或a＜-

3

時，函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=a沒有交點，方程f（x）=a 沒有解．
（3）∵B=

π

3

，A+B＞

π

2

，0＜A＜

π

2

，∴

π

6

＜A＜

π

2

，
∴2A+

π

3

∈（

2π

3

，

4π

3

），∴f（A）=2sin（2A+

π

3

）∈（-

3

，

3

），
即f（A）的范圍為 （-

3

，

3

）．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，方程的解得個數(shù)判斷，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．