Question

設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的定義域分別為D₁，D₂，且D₁?D₂．若對于任意x∈D₁，都有g(shù)（x）=f（x），則稱g（x）為f（x）在D₂上的一個延拓函數(shù)．給定f（x）=x²-1（0＜x≤1）．
（Ⅰ）若h（x）是f（x）在[-1，1]上的延拓函數(shù)，且h（x）為奇函數(shù)，求h（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）為f（x）在（0，+∞）上的任意一個延拓函數(shù)，且y=

g(x)

x

 是（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)．
（�。┡袛嗪瘮�(shù)y=

g(x)

x

在（0，1]上的單調(diào)性，并加以證明；
（ⅱ）設(shè)s＞0，t＞0，證明：g（s+t）＞g（s）+g（t）．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出h（0）=0，再求出x∈[-1，0）時的解析式，即可得出h（x）的解析式；
（Ⅱ）（�。┖瘮�(shù)y=

g(x)

x

是（0，1]上的增函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識可求；
（ⅱ）確定函數(shù)y=

g(x)

x

是 （0，1]上的增函數(shù)，可得s•g（s+t）＞（s+t）•g（s），同理可得：t•g（s+t）＞（s+t）g（t）．將上述兩個不等式相加，并除以s+t，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)x=0時，由h（x）為奇函數(shù)，得h（0）=0．…1分
任取x∈[-1，0），則-x∈（0，-1]，
由h（x）為奇函數(shù)，得h（x）=-h（-x）=-[（-x）²-1]=-x²+1，…3分
所以h（x）的解析式為 h（x）=

x2-1，0＜x≤1 0，x=0 -x2+1，-1≤x＜0

      …4分
（Ⅱ）（ⅰ）函數(shù)y=

g(x)

x

是（0，1]上的增函數(shù)．…5分
證明如下：
因為g（x）為 f（x）在（0，+∞）上的一個延拓函數(shù)，
所以當(dāng)x∈（0，1]時，g（x）=f（x）=x²-1．
記k（x）=

g(x)

x

=

f(x)

x

=x-

1

x

，則k′（x）=1+

1

x2

＞0，
所以函數(shù)g（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)．…8分
（ⅱ）由y=

g(x)

x

 是（0，+∞） 上的單調(diào)函數(shù)，且x∈（0，1]時，y=

g(x)

x

是增函數(shù)，從而得到函數(shù)y=

g(x)

x

是 （0，1]上的增函數(shù)．…9分
因為s＞0，t＞0，所以s+t＞s，s+t＞t，
所以

g(s+t)

s+t

＞

g(s)

s

，即s•g（s+t）＞（s+t）•g（s）．
同理可得：t•g（s+t）＞（s+t）g（t）．
將上述兩個不等式相加，并除以s+t，即得g（x+t）＞g（s）+g（t）．…13分

點評：本題以新定義為切入點，主要考查了利用偶函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用．