Question

下列函數中，滿足f（x-y）=

f(x)

f(y)

的單調遞減函數是（　�。�

• A、f（x）=x³
• B、f（x）=x 

  1

  2

• C、f（x）=（

  1

  2

  ）^x
• D、f（x）=3^x

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：對選項一一加以判斷，可先判斷f（x-y）=

f(x)

f(y)

是否滿足，再判斷單調性，是否是單調遞減函數，選出都復合要求的選項．

解答： 解：A：f（x-y）=（x-y）³，

f(x)

f(y)

=

x3

y3

=(

x

y

)3
∴f（x-y）≠

f(x)

f(y)

，故A錯；
B：f（x-y）=（x-y） 

1

2

，

f(x)

f(y)

=

x 1 2

y 1 2

，∴f（x-y）≠

f(x)

f(y)

，故B錯；
C：f（x-y）=（

1

2

）^x-y，

f(x)

f(y)

=

( 1 2 )x

( 1 2 )y

=(

1

2

)x-y，即f（x-y）=

f(x)

f(y)

又f（x）=（

1

2

）^x是遞減函數，故C正確；
D：f（x-y）=3^x-y，

f(x)

f(y)

=

3x

3y

=3^x-y，即f（x-y）=

f(x)

f(y)

，
但f（x）是遞增函數，故D錯．
故選C．

點評：本題考查函數的單調性及運用，以及函數表達式的求法，和指數的運算法則，屬于基礎題．