Question

已知三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BC⊥CD，BC=CD=4，AB=AD=2

3

，則三棱錐A-BCD的外接球的大圓面積為（　�。�

• A、36π
• B、27π
• C、12π
• D、9π

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：空間位置關系與距離,球

分析：利用已知三棱錐A-BCD的特點AB=AC=AD，先確定△ABD的外心O，及外接圓的半徑，然后證明O也是三棱錐A-BCD的外接球的球心，即可解答．

解答： 解：∵如圖取CD的中點E，連接AE，CE．
則AE⊥BD，CE⊥BD．
∵平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD=BD，
∴AE⊥平面BCD，
又∵CE?平面BCD，
∴AE⊥CE．
設△ABD的外接圓的圓心為O，半徑為r．
∵AB=AD，
∴圓心O在AE所在的直線上．
∴r²=BE²+OE²=BE²+（r-AE）²．
∵在Rt△BCD中，
BD=

BC2+CD2

=

42+42

=4

2

．
∴BE=EC=2

2

．
∴在Rt△ABE中，AE=

AB2-BE2

=

(2 3 )2-(2 2 )2

=2．
∴r²=8+（r-2）²，解得r=3．
∴OE=1．
在Rt△OEC中，OC=

OE2+EC2

=

1+8

=3．
∴OA=OB=OC=OD=3．
∴點O是三棱錐A-BCD的外接球的球心，且半徑為3．
∴大圓面積S=πr²=9π．
故選D．

點評：本題考查球內(nèi)接多面體及其度量，考查空間想象能力，計算能力，解答的關鍵是確定球心位置，利用已知三棱錐的特點是解決問題關鍵，屬于難題．