Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，點(diǎn)E、F分別為AB和PD中點(diǎn)，求PC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 根據(jù)直線間的兩兩垂直，盡力空間直角坐標(biāo)系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的數(shù)量積求出線面的夾角的正弦值．

解答 解：∵底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，點(diǎn)E、F分別為AB和PD中點(diǎn)，
∴DE⊥DC，
∵PD⊥平面ABCD，∴以D為原點(diǎn)，DE為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則 P（0，0，1），C（0，1，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），
A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0）．
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為：$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），．
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}=（1，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
∵$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-1），
∴設(shè)PC與平面PAB所成角為θ，
∴sinθ=|$\frac{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{1+\frac{3}{4}}}$|=$\frac{\sqrt{42}}{14}$．
∴PC平面PAB所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{42}}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面平行的判定的應(yīng)用，空間直角坐標(biāo)系的建立，法向量的應(yīng)用，線面的夾角的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的空間想象能力和應(yīng)用能力．