4．已知sinA是有理數(shù)，求證：對任意正整數(shù)n，cos2nA是有理數(shù)．

分析 由數(shù)學歸納法和二倍角的余弦公式證明即可．

解答 證明：（1）n=1時，由sinA是有理數(shù)可得cos2A=1-2sin2A為有理數(shù)；
（2）假設(shè)n=k時，cos2kA為有理數(shù)，
當n=k+1時，cos2k+1A=cos2•2kA
=2cos22kA-1也為有理數(shù)；
由數(shù)學歸納法可知：對任意正整數(shù)n，cos2nA是有理數(shù)．

點評 本題考查三角恒等式的證明，涉及數(shù)學歸納法和二倍角的余弦公式，屬中檔題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，點E、F分別為AB和PD中點，求PC與平面PAB所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

15．已知二次函數(shù)f（x）=x2-（m-1）x+2m在[0，1]上有且只有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�
A．（-2，0）B．（-1，0）C．（-2，-1）D．[-2，0]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

12．設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{CD}$，則（　�。�
A．$\overrightarrow{AD}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{AB}$B．$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{AC}$C．$\overrightarrow{AD}$=$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$D．$\overrightarrow{AD}$=$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

19．如圖，圓錐的底面圓心為O，直徑為AB，C為半圓弧AB的中點，E為劣弧CB的中點，且AB=2PO．
（1）求證PO⊥AC；
（2）求異面直線PA與OE所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

9．函數(shù)$y=2cos（\frac{π}{4}-2x）$的單調(diào)減區(qū)間是（　�。�
A．$\{x|kπ+\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{5π}{8}，k∈Z\}$B．{x|kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z}
C．{x|2kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈Z}D．{x|2kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

16．下列函數(shù)中，既是偶數(shù)又在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（　　）
A．$y=\frac{1}{x}$B．y=exC．y=-x2D．y=lg|x|

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

13．已知f（x）=|lnx|，設(shè)0＜a＜b，且f（a）=f（b），則a+2b的取值范圍是（　�。�
A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．$[2\sqrt{2}，+∞）$D．$（2\sqrt{2}，+∞）$

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

14．①命題“若b2-4ac＜0，則方程ax2+bx+c=0（a≠0）無實根”的否命題為真命題；
②命題“?x∈N，x3＞x2”的否定是“?x0∈N，使x${\;}_{0}^{3}$＞x${\;}_{0}^{2}$”；
③“b=0”是“函數(shù)f（x）=ax2+bx+c為偶函數(shù)”的充要條件；
④“正四棱錐的底面是正方形”的逆命題為真命題；
⑤a＞1是（a-2）（a-1）＞0的必要不充分條件．
其中正確命題的序號是①③．

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