Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E點(diǎn)為DD₁中點(diǎn)．
（1）求證：平面ACE⊥平面BDD₁．
（2）求證：BD₁∥平面ACE．
（3）求二面角E-AC-D的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件得AC⊥BD，AC⊥DD₁，從而得到AC⊥平面BD₁，由此能證明平面ACE⊥平面BDD₁．
（2）設(shè)AC∩BD=O，則O是AC中點(diǎn)，連結(jié)OE，則OE∥BD₁，由此能證明BD₁∥平面ACE．
（3）由已知條件推導(dǎo)出∠DOE是二面角E-AC-D的平面角，由此能求出二面角E-AC-D的正切值．

解答： （1）證明：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AC與BD是正方形ABCD的對角線，∴AC⊥BD，
∵DD₁⊥平面ABCD，∴AC⊥DD₁，
∴AC⊥平面BD₁，
∵AC?平面ACE，∴平面ACE⊥平面BDD₁．
（2）證明：設(shè)AC∩BD=O，則O是AC中點(diǎn)，
連結(jié)OE，∵E點(diǎn)為DD₁中點(diǎn)，∴OE∥BD₁，
∵BD₁不包含于平面ACE，OE?平面ACE，
∴BD₁∥平面ACE．
（3）解：設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
則AE=CE=

4+1

=

5

，AD=DC=2，OD=

2

，OE=

3

，
∴DO⊥AC，EO⊥AC，
∴∠DOE是二面角E-AC-D的平面角，
∴tan∠DOE=

DE

DO

=

1

2

=

2

2

，
∴二面角E-AC-D的正切值為

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．