Question

已知函數(shù)f（x）=x²-cosx，對(duì)于[-π，π]上的任意x₁，x₂，有如下條件：
①x₁＞x₂；
②x₁²＞x₂²；
③|x₁|＞x₂；
④x₁＞|x₂|．
其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的條件是

 

．（寫出所有序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：當(dāng)x²₁＞x²₂時(shí)，有|x₁|＞|x₂|，在區(qū)間[0，

π

2

]內(nèi)，有

π

2

≥x₁＞x₂≥0，f（x₁）＞f（x₂），在區(qū)間[-

π

2

，0]內(nèi)，f（x₁）＞f（x₂），從而在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]內(nèi)恒有f（x₁）＞f（x₂）；由函數(shù)f（x）=x²-cosx是偶函數(shù)，由函數(shù)的對(duì)稱性知離原點(diǎn)越近值越小，由此得x₁＞|x₂|時(shí)恒有f（x₁）＞f（x₂）．

解答： 解：此題最好用數(shù)形結(jié)合的方法求解．
當(dāng)x²₁＞x²₂時(shí)，有|x₁|＞|x₂|；
故在區(qū)間[0，

π

2

]內(nèi)，有

π

2

≥x₁＞x₂≥0，
由圖中綠線可見：f（x₁）＞f（x₂），
在區(qū)間[-

π

2

，0]內(nèi)，有-x₁＞-x₂，
即有-

π

2

≤x₁＜x₂≤0，
仍由圖中綠線可見：f（x₁）＞f（x₂）
故在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]內(nèi)恒有f（x₁）＞f（x₂）．
由函數(shù)f（x）=x²-cosx是偶函數(shù)，
由函數(shù)的對(duì)稱性知離原點(diǎn)越近值越小，
∴x₁＞|x₂|時(shí)恒有f（x₁）＞f（x₂）．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．