如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB=2，∠BAD=60°，M、N分別是對角線BD、AC上的點，AC、BD相交于點O，已知BM=
1
3
BO，ON=
1
3
OC．設向量
AB
=
a
，
AD
=
b
．
（1）試用
a
，
b
表示
MN
；
（2）求|
MN
|．
考點：向量在幾何中的應用
專題：平面向量及應用
分析：（1）先把向量
MN
放在三角形AMN中，則
MN
=
AN
-
AM
，再利用三角形AMB把
AM
表示為
AB
+
BM
，
BM
可用
BD
線性表示，則問題就可迎刃而解了；
（2）由第（1）問，
MN
已用
a
，
b
線性表示，則利用數(shù)量積易求得|
MN
|．
解答： 解：（1）∵平行四邊形ABCD，∴BM=
1
3
BO=
1
6
BD，ON=
1
3
OC=
1
6
AC，
∴
AM
=
AB
+
BM
=
AB
+
1
6
BD
=
AB
+
1
6
(
AD
-
AB
)=
5
6
AB
+
1
6
AD
=
5
6
a
+
1
6
b
，
AN
=
AO
+
ON
=
1
2
AC
+
1
6
AC
=
2
3
AC
=
2
3
(
AB
+
AD
)=
2
3
a
+
2
3
b
，
∴
MN
=
AN
-
AM
=-
1
6
a
+
1
2
b
；
（2）由（1）知
MN
=
AN
-
AM
=-
1
6
a
+
1
2
b
，
∴|
MN
|=
MN
2
=
(-
1
6
a
 +
1
2
b
)2
=
1
36
a
2-
1
6
a
•
b
+
1
4
b
2

=
1
36
-
1
6
×1×2cos60°+
1
4
×4
=
31
6
．
點評：運用基底表示指定向量的問題，一般是把所求的向量放在一個三角形（或平行四邊形）中借助于向量加（減）法的幾何意義結合數(shù)乘運算求解；而模長的計算問題往往轉(zhuǎn)化為模的平方后利用數(shù)量積計算．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

甲乙兩隊進行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊獲勝的概率是
2
3
，沒有平局．若采用三局兩勝制比賽，即先勝兩局者獲勝且比賽結束，則甲隊獲勝的概率等于（　�。�
A、
4
9
B、
20
27
C、
8
27
D、
16
27

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=-lnx，g（x）=
1
x
-1（x＞0）
（Ⅰ）求F（x）=f（x）-g（x）的極值，并證明：若x1，x2∈（0，+∞）有f（x2）-f（x1）≥f′（x1）（x2-x1）
（Ⅱ）設λ1，λ2＞0，且λ1+λ2=1，x1＞0，x2＞0，證明：λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2）．若λi＞0，xi＞0，（i=1，2，…n），由上述結論猜想一個一般性結論（不需證明）．
（Ⅲ）證明：若ai＞0（i=1，2，…n），則a1 a1a2 a2…an an≥(
a1+a2+…+an
n
)a1+a2+…+an．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3+3x|x-2|+1，a∈R．
（Ⅰ）當a=0時，求y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當a＞0時，若函數(shù)y=f（x）不存在極值，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-12x
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當x∈[-3，3]時，求f（x）的最值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A（1，2），B（3，5），向量
a
=（x，6），若
a
∥
AB
，則實數(shù)x的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

2sin50°+cos10°(1+
3
tan10°)
1+cos10°
=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設0＜x＜
3
4
，若8x≥（2-kx）（4x-3）恒成立，則實數(shù)k的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某商店經(jīng)營一批進價為每件4元的商品，在市場調(diào)查時得到，此商品的銷售單價x與日銷售量y之間的一組數(shù)據(jù)滿足：
.
x
=6.5，
.
y
=7，
5
i=1
(xi-
.
x
)  (yi-
.
y
)  =-11，
5
i=1
(xi-
.
x
) 2=5，則當銷售單價x定為（取整數(shù)）
 
 元時，日利潤最大．

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