Question

2．有如下幾個結(jié)論：
①若函數(shù)y=f（x）滿足：$f（x）=-\frac{1}{{f（{x+1}）}}$，則2為y=f（x）的一個周期，
②若函數(shù)y=f（x）滿足：f（2x）=f（2x+1），則$\frac{1}{2}$為y=f（x）的一個周期，
③若函數(shù)y=f（x）滿足：f（x+1）=f（1-x），則y=f（x+1）為偶函數(shù)，
④若函數(shù)y=f（x）滿足：f（x+3）+f（1-x）=2，則（3，1）為函數(shù)y=f（x-1）的圖象的對稱中心．
正確的結(jié)論為①③（填上正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析 根據(jù)已知分析函數(shù)的周期性，可判斷①②；分析函數(shù)的奇偶性，可判斷③；分析函數(shù)的對稱性，可判斷④．

解答 解：①$f（x）=-\frac{1}{{f（{x+1}）}}$，
∴f（x+1）=-$\frac{1}{f（x+2）}$，
∴f（x）=f（x+2），則2為y=f（x）的一個周期，故正確；
②f（2x）=f（2x+1），
令t=2x，
∴f（t）=f（t+1），
∴f（x）=f（x+1），則1為y=f（x）的一個周期，故錯誤；
③y=f（x+1）為偶函數(shù)，
∴f（-x+1）=f（x+1），故正確；
④若函數(shù)y=f（x）滿足：f（x+3）+f（1-x）=2，
令t=x+3，則x=t-3，1-x=4-t，
即f（t）+f（4-x）=2，
即函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（2，1）點對稱，
則函數(shù)y=f（x-1）的圖象的對稱中心為（0，0），故錯誤；
故正確的結(jié)論為：①③
故答案為：①③

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的周期性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的對稱性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．