Question

12．設(shè)n是不小于2的正整數(shù)，求證：$\frac{4}{7}$＜1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 首先證得1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$，當(dāng)n=2，求得$\frac{7}{12}$＞$\frac{4}{7}$，即可證得不等式的左邊成立；再由柯西不等式和放縮法，化簡(jiǎn)整理，即可得到右邊成立．

解答 證明：1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）
=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$，
當(dāng)n=2時(shí)，$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$＞$\frac{4}{7}$，即有1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$＞$\frac{4}{7}$；
由柯西不等式可得，
$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$＜$\sqrt{（{1}^{2}+{1}^{2}+…+{1}^{2}）（\frac{1}{（n+1）^{2}}+\frac{1}{（n+2）^{2}}+…+\frac{1}{（2n）^{2}}）}$，
由$\frac{1}{（n+1）^{2}}+\frac{1}{（n+2）^{2}}+…+\frac{1}{（2n）^{2}}$＜$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{2n}$，
即有$\sqrt{（{1}^{2}+{1}^{2}+…+{1}^{2}）（\frac{1}{（n+1）^{2}}+\frac{1}{（n+2）^{2}}+…+\frac{1}{（2n）^{2}}）}$＜$\sqrt{n•\frac{1}{2n}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
則有原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用柯西不等式和放縮法，結(jié)合不等式的性質(zhì)，考查推理能力，屬于難題．