Question

（理）數(shù)列{a_n}中，a1=

1

2

，an+1=sin(

π

2

+an)，n∈N^*．
求證：（1）0＜a_n＜1；
（2）a_n＜a_n+1；
（3）1-an＜

π

4

(1-an-1)．（n≥2）
（參考公式：sinα+sinβ=2sin

α+β

2

cos

α-β

2

）

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：證明題

分析：（1）、（2）前兩小問可一起進行證明．先看當n=1時，可求得a₂，則可驗證結(jié)論成立；假設n=k時結(jié)論成立，根據(jù)0＜a_k＜a_k+1＜1，推斷出0＜

π

2

a_k＜

π

2

a_k+1＜

π

2

．進而可知0＜sin（

π

2

a_k）＜sin（

π

2

a_k+1）＜1，即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，結(jié)論成立，最后綜合可知（1）（2）成立．
（3）由于1＜1+a _n-1＜2，結(jié)合（1）（2）中的結(jié)論得出

π

4

（1+a₁）的取值范圍，從而1-a _n=sin

π

2

-sin（

π

2

a _n-1）=2cos[

π

4

（1+a _n-1）]sin[

π

4

（1-a _n-1）]＜sin[

π

4

（1-a _n-1）]，根據(jù)0＜[

π

4

（1-a _n-1）]＜

π

2

，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)sinθ＜θ即可證得結(jié)論．

解答： 證明：（1）（2）①n=1時，a₁=

1

2

，
由于條件an+1=sin(

π

2

•an)，
∴a₂=sin（

π

2

a₁）=sin

π

4

=

2

2

．
∴0＜a₁＜a₂＜1，故結(jié)論成立．
②假設n=k時結(jié)論成立，
即0＜a_k＜a_k+1＜1，
則0＜

π

2

a_k＜

π

2

a_k+1＜

π

2

．
∴0＜sin（

π

2

a_k）＜sin（

π

2

a_k+1）＜1，
即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，
也就是說n=k+1時，結(jié)論也成立．
由①②可知，對一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1．
（3）∵1＜1+a _n-1＜2，
∴

π

4

＜

π

4

（1+a _n-1）＜

π

2

，
又a_n＜a_n+1，
∴1+a _n-1≥1+a₁，（n≥2）
∴

π

4

（1+a _n-1）≥

π

4

（1+a₁）=

3π

8

＞

π

3

，
∴1-a _n=sin

π

2

-sin（

π

2

a _n-1）=2cos[

π

4

（1+a _n-1）]sin[

π

4

（1-a _n-1）]＜sin[

π

4

（1-a _n-1）]
∵0＜[

π

4

（1-a _n-1）]＜

π

2

，又θ是銳角時，sinθ＜θ，
∴sin[

π

4

（1-a _n-1）]＜

π

4

（1-a _n-1）
∴1-an＜

π

4

(1-an-1)．（n≥2）．

點評：本題主要考查了數(shù)列遞推式、數(shù)列與不等式的綜合、不等式證明等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．