Question

【題目】某工廠生產(chǎn)了一批高精尖的儀器，為確保儀器的可靠性，工廠安排了一批專家檢測(cè)儀器的可靠性，毎臺(tái)儀器被毎位專家評(píng)議為“可靠”的概率均為，且每臺(tái)儀器是否可靠相互獨(dú)立．

（1）當(dāng)，現(xiàn)抽取4臺(tái)儀器，安排一位專家進(jìn)行檢測(cè)，記檢測(cè)結(jié)果可靠的儀器臺(tái)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）為進(jìn)一步提高出廠儀器的可靠性，工廠決定每臺(tái)儀器都由三位專家進(jìn)行檢測(cè)，只有三位專家都檢驗(yàn)儀器可靠，則儀器通過(guò)檢測(cè)．若三位專家檢測(cè)結(jié)果都為不可靠，則儀器報(bào)廢．其余情況，儀器需要回廠返修．?dāng)M定每臺(tái)儀器檢測(cè)費(fèi)用為100元，若回廠返修，每臺(tái)儀器還需要額外花費(fèi)300元的維修費(fèi)．現(xiàn)以此方案實(shí)施，且抽檢儀器為100臺(tái)，工廠預(yù)算3.3萬(wàn)元用于檢測(cè)和維修，問(wèn)費(fèi)用是否有可能會(huì)超過(guò)預(yù)算？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）分布列詳見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望；（2）不會(huì)超過(guò)預(yù)算，理由詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）該事件滿足二項(xiàng)分布，由其概率計(jì)算公式分別計(jì)算隨機(jī)變量為，，，，4的概率，即可列出分布列，再由np計(jì)算均值；

（2）設(shè)每臺(tái)儀器所需費(fèi)為X元，則X的可能取值為100，400，為100時(shí)，即都通過(guò)或都不通過(guò)，即可計(jì)算，再由對(duì)立事件概率計(jì)算方式求得，即可表示一臺(tái)儀器花費(fèi)的數(shù)學(xué)期望函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得最值，即可判定.

（1）題意知的所有可能取值為，，，，4，

且服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，

所以

，

，

，

，

．

故 的分布列為 ：

X	0	1	2	3	4
P

從而．

（2）設(shè)每臺(tái)儀器所需費(fèi)為X元，則X的可能取值為100，400．

，．

所以=，

化簡(jiǎn)得，

令，

，解得，

當(dāng)，，在單調(diào)遞增，

當(dāng)，，在單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．

實(shí)施此方案，最高費(fèi)用為元33000元，不會(huì)超過(guò)預(yù)算．