Question

（1）在z軸上求與點A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距離的點的坐標(biāo)．
（2）在yOz平面上，求與點A（3，1，2）、B（4，-2，-2）和C（0，5，1）等距離的點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：空間兩點間的距離公式,空間中的點的坐標(biāo)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)C點是z軸上的點，設(shè)出C點的坐標(biāo)（0，0，z），根據(jù)C點到A和B的距離相等，寫出關(guān)于z的方程，解方程即可得到C的豎標(biāo)，寫出點C的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)點在坐標(biāo)面yOz內(nèi)，設(shè)出點的坐標(biāo)（0，y，z），根據(jù)點到A、B、C的距離相等，寫出關(guān)于y、z的方程，解方程即可得到點的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）由題意設(shè)C（0，0，z），
∵C與點A（-4，1，7）和點B（3，5，-2）等距離，
∴|AC|=|BC|，
∴

16+1+(7-z)2

=

9+25+(z+2)2

，
∴18z=28，
∴z=

14

9

，
∴C點的坐標(biāo)是（0，0，

14

9

）．
（2）解：設(shè)yOz平面內(nèi)一點D（0，y，z）與A，B，C三點距離相等，
則有|AP|²=9+（1-y）²+（2-z）²，
|BP|²=16+（2+y）²+（2+z）²，
|CP|²=（5-y）²+（1-z）²，
由|AP|=|BP|，及|AP|=|CP|，
得

9+(1-y)2+(2-z)2=16+(2+y)2+(2+z)2 9+(1-y)2+(2-z)2=(5-y)2+(1-z)2

化簡可得

3y+4z+5=0 4y-z-6=0

解得

y=1 z=-2

∴點P（0，1，-2）為yOz平面內(nèi)到A，B，C三點等距離的點．

點評：本題考查兩點之間的距離公式，應(yīng)用兩點之間的距離相等，得到方程，應(yīng)用方程的思想來解題，本題是一個中檔題．