Question

（本小題滿分12分）如圖，已知⊙O的直徑AB=3，點C為⊙O上異于A，B的一點，VC⊥平面ABC，且VC=2，點M為線段VB的中點.

（1）求證：BC⊥平面VAC；

（2）若直線AM與平面VAC所成角為.求三棱錐B-ACM的體積.

Answer 1

（1））祥見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）由線面垂直得VC⊥BC，由直徑性質(zhì)得AC⊥BC，由此能證明BC⊥平面VAC．（2）首先由（1）作出直線AM與平面VAC所成的角：取VC的中點N，連接MN，AN，則MN∥BC，由（I）得BC⊥平面VAC，所以MN⊥平面VAC，則∠MAN為直線AM與平面VAC所成的角.即∠MAN=，所以MN=AN；這樣就可求出AC的長，且而求得體積．

試題解析：（1）證明：因為VC⊥平面ABC，，所以VC⊥BC，又因為點C為圓O上一點，且AB為直徑，所以AC⊥BC，又因為VC，AC平面VAC，VC∩AC=C，所以BC⊥平面VAC. 4分

（2）如圖，取VC的中點N，連接MN，AN，則MN∥BC，由（I）得BC⊥平面VAC，所以MN⊥平面VAC，則∠MAN為直線AM與平面VAC所成的角.即∠MAN=，所以MN=AN； 6分

令A(yù)C=a,則BC=，MN=；因為VC=2，M為VC中點，所以AN=， 所以，=,解得a=1 10分

因為MN∥BC,所以 12分

考點：1. 直線與平面垂直的判定;2. 棱柱、棱錐、棱臺的體積;3. 直線與平面所成的角.