Question

數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a_n+1-a_n=2，a₁=1，等比數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：b₁=a₁，b₄=a₁₄．
（1）求a_n，b_n；   
（2）設(shè)C_n=a_nb_n，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式a_n=2n-1，由此求出等比數(shù)列公比q=3，由此能求出bn=3n-1．
（2）由C_n=a_nb_n=（2n-1）•3^n-1，利用錯(cuò)位相減法，能求出{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a_n+1-a_n=2，a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=2n-1，
∵等比數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：b₁=a₁=1，b₄=a₁₄=2×14-1=27，
∴1×q³=27，解得q=3，
∴bn=3n-1．
（2）C_n=a_nb_n=（2n-1）•3^n-1，
∴T_n=1•3⁰+3•3+5•3²+…+（2n-1）•3^n-1，①
3T_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，②
①-②，得：-2T_n=1+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ
=1+2•

3(1-3n-1)

1-3

-（2n-1）•3ⁿ
=-2-（2n-2）•3ⁿ，
∴Tn=1+(n-1)•3n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．