Question

已知矩形紙片AA′A₁′A₁，點(diǎn)B、C、B₁、C₁分別為AA′、A₁A₁′的三等分點(diǎn)，將矩形紙片沿BB₁、CC₁折成圖2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，若面對(duì)角線AB₁⊥BC₁，求證：A₁C⊥AB₁．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：延長(zhǎng)B₁C₁到D，使DC₁=B₁C₁，根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)證明出A₁D⊥A₁B₁，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)推斷出AA₁⊥A₁D，進(jìn)而證明出A₁D⊥平面AA₁B₁，推斷出AB₁⊥A₁D，根據(jù)四邊形BCC₁D為平行四邊形，推斷出BC₁∥CD，進(jìn)而依據(jù)AB₁⊥BC₁，證明出AB₁⊥CD，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明出AB₁⊥平面CA₁D，最后利用線面垂直的性質(zhì)證明出A₁C⊥AB₁．

解答： 證明：延長(zhǎng)B₁C₁到D，使DC₁=B₁C₁，
依題意知B₁C₁=A₁C₁=DC₁，
∴∠B₁A₁D=90°，即A₁D⊥A₁B₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，A₁D?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁D，
∵A₁B₁?平面AA₁B₁，AA₁?平面AA₁B₁，A₁B₁∩AA₁=A₁，
∴A₁D⊥平面AA₁B₁，
∵AB₁?平面AA₁B₁，
∴AB₁⊥A₁D，
∵BC∥C₁D，BC=C₁D，
∴四邊形BCC₁D為平行四邊形，
∴BC₁∥CD，
∵AB₁⊥BC₁，
∴AB₁⊥CD，
∵CD?平面CA₁D，A₁D?平面CA₁D，A₁D∩CD=D，
∴AB₁⊥平面CA₁D，
∵A₁C?平面CA₁D，
∴AB₁⊥A₁C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)和判定定理的運(yùn)用．作出平面CA₁D，并證明出AB₁⊥平面CA₁D是關(guān)鍵．