Question

已知a₁=2，a_n=2-

1

an-1

．
（1）求證b_n=

1

an-1

為等差數(shù)列；
（2）求c_n=

1

bn•bn+1

的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a_n-1=1-

1

an-1

=

an-1-1

an-1

，從而得到

1

an-1

-

1

an-1-1

=1，由此能證明數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
（2）c_n=

1

bn•bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n-1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出c_n=

1

bn•bn-1

的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （1）證明：∵a₁=2，a_n=2-

1

an-1

，
∴a_n-1=1-

1

an-1

=

an-1-1

an-1

，
∴

1

an-1

=

an-1

an-1-1

=

an-1-1+1

an-1-1

=1+

1

an-1-1

，
∴

1

an-1

-

1

an-1-1

=1，
∵

1

a1-1

=1，b_n=

1

an-1

，
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
（2）解：∵數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴b_n=1+（n-1）×1=n，
∴c_n=

1

bn•bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n-1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．