Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，三個側棱PA、PB、PC兩兩垂直，PH⊥底面ABC．求證：
（1）AH⊥BC；
（2）BH⊥AC；
（3）CH⊥AB．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）（2）（3）的證明方法一樣，以（1）為例，要證AH⊥BC，只需要證BC⊥平面PAH，要只需要證PH⊥BC，PA⊥BC，只需要證PA⊥平面PBC，根據已知條件可證．

解答： 證明（1）如圖所示，連接AH交BC于點D．
∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=C
∴PA⊥平面PBC，
又BC?平面PBC，
∴PA⊥BC
∵PH⊥底面ABC，BC?平面ABC
∴PH⊥BC，
又PA∩PH=P
∴BC⊥平面PAH，
∵AH?平面PAH，
∴BC⊥AH
（2）（3）同理可證
∴BH⊥AC；CH⊥AB．

點評：本題主要考查了線線垂直和線面垂直的判定定理和性質，關鍵是之間的它們轉化，屬于中檔題．