Question

函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=

2|x-1|-1，0＜x≤2 1 2 f(x-2)，x＞2

，則g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上所有零點之和為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知可分析出函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，則其零點必然關(guān)于原點對稱，故g（x）在[-6，6]上所有的零點的和為0，則函數(shù)g（x）在[-6，+∞）上所有的零點的和，即函數(shù)g（x）在（6，+∞）上所有的零點之和，求出（6，+∞）上所有零點，可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）．
又∵函數(shù)g（x）=xf（x）-1，
∴g（-x）=（-x）f（-x）-1=（-x）[-f（x）]-1=xf（x）-1=g（x），
∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，∴函數(shù)g（x）的零點都是以相反數(shù)的形式成對出現(xiàn)的．
∴函數(shù)g（x）在[-6，6]上所有的零點的和為0，
∴函數(shù)g（x）在[-6，+∞）上所有的零點的和，即函數(shù)g（x）在（6，+∞）上所有的零點之和．
由0＜x≤2時，f（x）=2^|x-1|-1，故有f（x）=

2-x  ，0＜x≤1 2x-2  ，1＜x≤2 1 2 f(x-2) ，x＞2

．
∴函數(shù)f（x）在（0，2]上的值域為[

1

2

，1]，當且僅當x=2時，f（x）=1．
又∵當x＞2時，f（x）=

1

2

f（x-2），
∴函數(shù)f（x）在（2，4]上的值域為[

1

4

，

1

2

]，
函數(shù)f（x）在（4，6]上的值域為[

1

8

，

1

4

]，
函數(shù)f（x）在（6，8]上的值域為[

1

16

，

1

8

]，當且僅當x=8時，f（x）=

1

8

，
函數(shù)f（x）在（8，10]上的值域為[

1

32

，

1

16

]，當且僅當x=10時，f（x）=

1

16

，
故f（x）＜

1

x

在（8，10]上恒成立，g（x）=xf（x）-1在（8，10]上無零點，
同理g（x）=xf（x）-1在（10，12]上無零點，
依此類推，函數(shù)g（x）在（8，+∞）無零點．
綜上函數(shù)g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上的所有零點之和為8．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的零點，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中在尋找（6，+∞）上零點個數(shù)時，難度較大，故可以用歸納猜想的方法進行處理，屬于中檔題．