【題目】已知是雙曲線的兩個焦點,圓與雙曲線位于軸上方的兩個交點分別為,若,則雙曲線的離心率為_______.

【答案】

【解析】

連接NF1,MF2,由雙曲線的定義,可得|NF1|=2a+2c,|MF1|=2c﹣2a,

在△MF1F2中,和△NF1F2中,表示出cos∠MF1F2, cos∠NF2F1,可得∠MF1F2+∠NF2F1=π,即有cos∠MF1F2+cos∠NF2F1=0,化簡整理,由離心率公式計算即可得到所求值.

如圖:

連接NF1MF2,

由雙曲線的定義,可得|MF2|﹣|MF1|=2a

|NF1|﹣|NF2|=2a,

由|MF2|=|NF2|=2c,

可得|NF1|=2a+2c,|MF1|=2c﹣2a,

在等腰△MF1F2中,可得cos∠MF1F2,

在△NF1F2中,可得cos∠NF2F1,

,可得∠MF1F2+∠NF2F1=π,即有cos∠MF1F2+cos∠NF2F1=0,

可得0,

化為2c2﹣3aca2=0,

得2e2﹣3e﹣1=0,解得ee(舍去),

故答案為:

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