Question

如圖所示，將正整數(shù)排成三角形數(shù)陣，每排的數(shù)稱為一個群，從上到下順次為第一群，第二群，…，第n群，…，第n群恰好n個數(shù)，則第n群中n個數(shù)的和是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：規(guī)律型,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：觀察圖例，我們可以得到每一行的數(shù)第一個構(gòu)成一個以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，每一行的從右邊的第k個數(shù)都構(gòu)成一個以2^k為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而可分析出第n群中n個數(shù)的和的表達(dá)式．

解答： 解：觀察圖例，我們可以得到每一行的數(shù)第一個構(gòu)成一個以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
每一行的從右邊的第k個數(shù)都構(gòu)成一個以2^k為公差的等差數(shù)列，
故第n群的第一個數(shù)為：2^n-1，
第n群的第二個數(shù)為：2^n-2+2^n-1=3•2^n-2，
第n群的第三個數(shù)為：2^n-3+2×2^n-2=5•2^n-3，
…
第n群的第n-1個數(shù)為：2+（n-2）×2²=（2n-3）•2，
第n群的第n個數(shù)為：1+（n-1）×2=2n-1，
故第n群中n個數(shù)的和S_n=2^n-1+3•2^n-2+5•2^n-3+…+（2n-3）•2+（2n-1），…①
故2S_n=2ⁿ+3•2^n-1+5•2^n-2+…+（2n-3）•2²+（2n-1）•2，…②
②-①得：
S_n=2ⁿ+2（2^n-1+2^n-2+…+2²+2）-（2n-1）=3•2ⁿ-2n-3，
故答案為：3•2ⁿ-2n-3

點(diǎn)評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．