Question

設(shè)點(diǎn)P為函數(shù)f（x）=

1

2

x²+2ax與g（x）=3a²lnx+2b（a＞0）圖象的公共點(diǎn)，以P為切點(diǎn)可作直線l與兩曲線都相切，則實(shí)數(shù)b的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線相同，先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用兩直線重合列出等式即可求得b值，然后利用導(dǎo)數(shù)來研究b的最大值，研究此函數(shù)的最值問題，先求出函數(shù)的極值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，最后確定出最大值與最小值即得．

解答： 解：設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線相同、
f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

，
由題意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
即

1

2

x₀²+2ax₀=3a²lnx₀+2b，x₀+2a=

3a2

x0

由x₀+2a=x₀+2a=

3a2

x0

得x₀=a或x₀=-3a（舍去），
即有2b=

1

2

a²+2a²-3a²lna=

5

2

a²-3a²lna．
令h（t）=

5

2

t²-3t²lnt（t＞0），則h′（t）=2t（1-3lnt）、
于是當(dāng)t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e

1

3

時，h′（t）＞0；
當(dāng)t（1-3lnt）＜0，即t＞e

1

3

時，h′（t）＜0．
故h（t）在（0，e

1

3

）為增函數(shù)，在（e

1

3

，+∞）為減函數(shù)，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值為h（e

1

3

）=

3

2

e

2

3

，
故b的最大值為

3

4

e

2

3

．
故答案為：

3

4

e

2

3

．

點(diǎn)評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．