Question

（本題滿分18分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且.直線是過點(diǎn)的任意一條直線．

（1）求動(dòng)點(diǎn)所在曲線的軌跡方程；

（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程；

（3） 設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，求以的長(zhǎng)為直徑且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程．

Answer 1

（1） ； （2） ； （3） ．

【解析】

試題分析：（1）求出N的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)即可得到軌跡方程；

（2）設(shè)l：y=k（x-1），聯(lián)立橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，即可求得斜率，進(jìn)而得到直線方程；

（3）由于當(dāng)直線軸時(shí)，，點(diǎn)到圓心的距離為1.即點(diǎn)在圓外，不滿足題意.所以滿足題意的直線的斜率存在，設(shè)為，則，由（2）可得，由點(diǎn)O在圓上知：，從而由向量的數(shù)量積可求出k的值，進(jìn)而就可求出半徑和圓心坐標(biāo)，所以就可寫出圓的方程.

試題解析：（1）依據(jù)題意，可得點(diǎn).

．

又，

.

所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.

（2） 若直線軸，則可求得，這與已知矛盾，因此滿足題意的直線不平行于軸．

設(shè)直線的斜率為，則．

由 得．

設(shè)點(diǎn)，有 且恒成立（因點(diǎn)在橢圓內(nèi)部）．

又，

于是，，即，

解得．

所以，所求直線．

（3） 當(dāng)直線軸時(shí)，，點(diǎn)到圓心的距離為1.即點(diǎn)在圓外，不滿足題意.

滿足題意的直線的斜率存在，設(shè)為，則.

設(shè)點(diǎn)，由（2）知，進(jìn)一步可求得

依據(jù)題意，有，

，

即，解得.

所求圓的半徑，

圓心為.

所求圓的方程為：.

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題.