Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，則該數(shù)列的前8項(xiàng)和為（　　）

• A、38
• B、40
• C、42
• D、44

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由數(shù)列遞推式結(jié)合a₁=1，a₂=2得到一般性結(jié)論當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_2k+1-a_2k-1=1．當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k=2^k．由此可求得數(shù)列的前8項(xiàng)和．

解答： 解：∵a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，
∴a₃=（1+cos²

π

2

）a₁+sin²

π

2

=a₁+1=2，
a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．
一般地，當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_2k+1=[1+cos²

(2k-1)π

2

]a_2k-1+sin²

(2k-1)π

2

=a_2k-1+1，
即a_2k+1-a_2k-1=1．
∴數(shù)列{a_2k-1}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此a_2k-1=k．
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k+2=（1+cos²

2kπ

2

）a_2k+sin²

2kπ

2

=2a_2k．
∴數(shù)列{a_2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此a_2k=2^k．
該數(shù)列的前項(xiàng)的和為1+2+2+4+3+8+4+16=40．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系和等比關(guān)系的確定，是中檔題．