Question

（本題滿分18分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，且.直線是過點(diǎn)的任意一條直線．

（1）求動(dòng)點(diǎn)所在曲線的軌跡方程；

（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程；

（3）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)（點(diǎn)不同于點(diǎn)），直線與直線交于點(diǎn)，求證：是定值．

Answer 1

（1） ； （2） ； （3）定值為1；證明祥見解析．

【解析】

試題分析：（1）求出N的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡即可得到軌跡方程；

（2）設(shè)l：y=k（x-1），聯(lián)立橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，即可求得斜率，進(jìn)而得到直線方程；

（3）求出HA，GB的方程，設(shè)出Q的坐標(biāo)，由（2）得，P（0，-k），再由直線GB與直線HA交于點(diǎn)O，解得Q的縱坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得到定值1．

試題解析：（1）依據(jù)題意，可得點(diǎn).

．

又，

.

所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.

（2）若直線軸，則可求得，這與已知矛盾，因此滿足題意的直線不平行于軸．

設(shè)直線的斜率為，則．

由 得．

設(shè)點(diǎn)，有 且恒成立（因點(diǎn)在橢圓內(nèi)部）．

又，

于是，，即，

解得．

所以，所求直線．

證明（3）直線與線段交于點(diǎn)，且與點(diǎn)不重合，

直線的斜率滿足：．

由（2）可得點(diǎn)，

可算得．

又直線．

設(shè)點(diǎn)，則由得（此等式右邊為正數(shù)）.

，且=．

，解得.

為定值.

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題.