Question

給出下列五個命題：
①函數(shù)y=log₂（sin x+cos x）的值域為（-∞，

1

2

]；
②函數(shù)f（x）=

3

sinx+cosx的圖象可以由g（x）=2sinx的圖象向左平移

π

6

個單位得到；
③已知角 α、β、γ構成公差為

π

3

的等差數(shù)列，若cosβ=-

1

3

，則cosα+cosγ=-

1

3

；
④函數(shù)h（x）=3^x|log₂x|-1的零點個數(shù)為1；
⑤若△ABC的三邊a、b、c滿足a³+b³=c³，則△ABC必為銳角三角形；
其中是真命題的是

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①求出sinx+cosx的最大值，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)的運算即可判斷①；
②先化簡f（x），再根據(jù)圖象平移的規(guī)律即可判斷②；
③利用等差數(shù)列的概念和兩角和差的余弦公式即可判斷③；
④令h（x）=0，在同一坐標系中分別畫出函數(shù)y=|log₂x|和函數(shù)y=（

1

3

）^x，觀察它們的交點個數(shù)即可判斷④；
⑤先判斷c最大，兩邊同除以c³，再運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到（

a

c

）³＜(

a

c

)2，（

b

c

）³＜(

b

c

)2，從而有a²+b²＞c²，再運用余弦定理即可判斷⑤．

解答： 解：①由于sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，由對數(shù)函數(shù)的定義域得，0＜sinx+cosx≤

2

，
故log₂（sinx+cosx）≤log2

2

=

1

2

，故①正確；
②f（x）=2sin（x+

π

6

），故函數(shù)f（x）圖象可以由函數(shù)g（x）=2sinx的圖象向左平移

π

6

個單位得到，
故②正確；
③由于角 α、β、γ構成公差為

π

3

的等差數(shù)列，則α=β-

π

3

，γ=

π

3

+β，又若cosβ=-

1

3

，
則cosα+cosγ=cos（β-

π

3

）+cos（β+

π

3

）=2cosβcos

π

3

=-

1

3

，故③正確；
④令h（x）=0，則|log₂x|=（

1

3

）^x，
分別畫出函數(shù)y=|log₂x|和函數(shù)y=（

1

3

）^x，
觀察顯然有兩個交點，故函數(shù)h（x）有兩個零點，
故④錯；
⑤若△ABC的三邊a、b、c滿足a³+b³=c³，則c最大，兩邊同除以c³得，（

a

c

）³+（

b

c

）³=1，由于（

a

c

）³＜(

a

c

)2，
（

b

c

）³＜(

b

c

)2，故有a²+b²＞c²，由余弦定理得，
cosC＞0，即C為銳角，又c為最大角，
故△ABC必為銳角三角形，故⑤正確．
故答案為：①②③⑤．

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及兩角和差的正弦和余弦公式，熟記這些是正確解題的關鍵，本題是一道綜合題．