Question

把數(shù)列{

1

n2+n

}依次按第一個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)兩個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)三個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號(hào)四個(gè)數(shù)，…按此規(guī)律下去，即（

1

2

），（

1

6

，

1

12

），（

1

20

，

1

30

，

1

42

），（

1

56

，

1

72

，

1

90

，

1

110

），則第6個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)字之和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：規(guī)律型,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用裂項(xiàng)相消法，求出前面6個(gè)括號(hào)的數(shù)的總和，及前5個(gè)括號(hào)數(shù)的總和，相減可得答案．

解答： 解：∵

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
故數(shù)列{

1

n2+n

}的前n項(xiàng)和S_n=

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

n2+n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
由于第一個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號(hào)兩個(gè)數(shù)，第三個(gè)括號(hào)三個(gè)數(shù)，第四個(gè)括號(hào)四個(gè)數(shù)，…
故前6個(gè)括號(hào)的數(shù)共有1+2+3+4+5+6=21個(gè)，
前面6個(gè)括號(hào)的數(shù)的總和為：S₂₁=

21

22

，
故前5個(gè)括號(hào)的數(shù)共有1+2+3+4+5=15個(gè)，
前面5個(gè)括號(hào)的數(shù)的總和為：S₁₅=

15

16

，
故第6個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)字之和為

21

22

-

15

16

=

3

176

，
故答案為：

3

176

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，數(shù)列求和，其中分析出數(shù)列{

1

n2+n

}的前n項(xiàng)和S_n=

n

n+1

是解答的關(guān)鍵．